■目標
- 検査での「不良発生の確率」や「合格ロットの確率」を計算できる
- 分布ごとの使い分け（母集団有限か／確率小か）を理解する
- 1級につながる「モデル選択と近似」の感覚を身につける
【問題1】確率の基本
10個中3個が不良のロットから、2個を無作為に取ったとき、
両方とも不良である確率を求めなさい（母集団有限）。
解答・解説：
→ 超幾何分布を使う。
式：P＝｛(不良から選ぶ組合せ)×(良品から選ぶ組合せ)｝÷(全体の組合せ)
P＝(3C2 × 7C0) ÷ 10C2
＝(3 × 1) ÷ 45 ＝ 0.0667（6.7％）
▶︎母集団が有限（戻さない抽出）→超幾何分布。
【問題2】二項分布の基本
不良率5％の製品から10個を独立に取ったとき、
不良が2個出る確率を求めよ。
解答・解説：
→ 二項分布（試行独立・確率一定）
P(X＝2)＝10C2 × (0.05)² × (0.95)⁸
＝45 × 0.0025 × 0.6634 ＝ 0.0746（7.46％）
▶︎母集団が大きく、確率が固定なら二項分布。
1級では「二項→正規近似」も扱う。
【問題3】不良が1個以下で合格とする場合
同条件で、不良0または1個のとき「合格」とする。
合格確率を求めよ。
解答・解説：
P(合格)＝P(0)+P(1)
＝10C0×0.95¹⁰＋10C1×0.05×0.95⁹
＝1×0.5987＋10×0.05×0.6302
＝0.5987＋0.3151＝0.9138（91.4％）
▶︎合格判定の確率＝歩留まり率とほぼ同じ概念。
【問題4】ポアソン分布の適用条件
ある製品に微細な異物が混入する確率が1個あたり0.002。
1000個の中に混入が2個以下である確率を求めよ。
解答・解説：
pが小さくnが大きい → 二項分布を**ポアソン分布（λ＝np）**で近似。
λ＝1000×0.002＝2
P(X≦2)＝e⁻²×(2⁰/0!＋2¹/1!＋2²/2!)
＝0.1353×(1＋2＋2)＝0.1353×5＝0.6765（67.7％）
▶︎λ（平均発生数）が安定すれば、nやpが変わっても近似精度が高い。
【問題5】不良率が低いときの近似確認
不良率p＝0.01、n＝100の場合、
「0個不良」が出る確率を二項とポアソンで比較せよ。
解答・解説：
二項：P＝(0.99)¹⁰⁰＝0.3660
ポアソン（λ＝1）：P＝e⁻¹＝0.3679
→ ほぼ同じ。
▶︎nが大、pが小ならポアソン近似可（np＝定数）。
1級ではこの「近似条件」が出題される。
【問題6】抜取検査のリスク
不良率10％のロットから5個を抜き取り、
「不良0個なら合格」とする。
ロットが合格する確率を求めよ。
解答・解説：
P(0)＝(1－0.1)⁵＝0.9⁵＝0.5905（59.1％）
▶︎これが消費者リスク（不良ロットを合格とする確率）。
メーカーと消費者のバランスを取るのが抜取検査の目的。
【問題7】製造ラインでの不良発生頻度（Poisson）
平均して1時間あたり2件の不良発生。
1時間に「3件以上」発生する確率を求めよ。
解答・解説：
λ＝2
P(X≧3)＝1－P(X≦2)
＝1－e⁻²×(1＋2＋2)=1－0.1353×5=1－0.6765＝0.3235（32.4％）
▶︎ポアソンは「単位時間・単位面積あたりの発生数」モデル。
（1級では「到着間隔」も扱う＝指数分布）
【問題8】工程改善後の効果確認
改善前：平均不良λ＝3
改善後：λ＝1
各10回の試行で、不良が3個以下である確率を比較せよ。
解答・解説：
改善前：P(X≦3)＝e⁻³×(1＋3＋4.5＋4.5)=0.0498×13=0.647
改善後：P(X≦3)＝e⁻¹×(1＋1＋0.5＋0.167)=0.3679×2.667=0.982
→ 改善効果：0.647→0.982（大幅向上）
▶︎QCは「数値で効果を証明」することが大切。
【問題9】二項分布の平均と分散
n＝20、p＝0.05 のとき、
不良数Xの平均と標準偏差を求めよ。
解答・解説：
平均 μ＝n×p＝20×0.05＝1.0
分散 σ²＝n×p×(1－p)＝20×0.05×0.95＝0.95
標準偏差 σ＝√0.95＝0.975
▶︎二項分布の標準偏差＝√(npq)。
→ Cpやσ管理ともつながる「ばらつきの尺度」。
【問題10】不良率を見積もるときの注意点（理論問題）
なぜ抜取検査では「正確な不良率」ではなく「推定的判断」をするのか？
解答・解説：
・全数検査はコスト・時間的に非現実的。
・抜取検査は統計的に「ロット品質を推定」する方法。
・合否判断は確率的に誤るリスクを含む（α＝生産者リスク、β＝消費者リスク）。
→ 検査方式を選ぶときは「許容リスク」を明示しておく必要がある。
■分布の使い分け（まとめ）
| 分布 | 条件 | 主な用途 | 代表式 |
|---|---|---|---|
| 二項分布 | n大きくてもp一定（独立） | 抜取・合否 | P(X＝k)＝nCk×pᵏ×(1－p)ⁿ⁻ᵏ |
| 超幾何分布 | 母集団有限・戻さない | 在庫検査・ロット内推定 | P＝(不良Ck×良品Cn－k)/(全体Cn) |
| ポアソン分布 | n大・p小・λ＝np一定 | 異常・欠陥数・事故発生 | P(X＝k)＝e⁻λ×λᵏ/k! |
💡 1級につながる考え方
- 「どの分布を使うか？」＝モデル選択の論理
→ 二項→ポアソン→正規への近似関係を理解する - 抜取検査では「危険率（α, β）」の設計が問われる
- 工程能力や管理図との関係を意識する
→ 不良率＝規格外確率＝Z値から正規表で求める流れに発展