■目標
- データの代表値（平均）とばらつき（分散・標準偏差）を正しく求める。
- 母集団と標本の違いを理解する。
- 線形変換・合成分散・CVなど、1級にもつながる思考を身につける。
【問題1】母集団の分散を求める
データ：12, 13, 14, 16, 20 を母集団とみなす。
平均、分散、標準偏差を求めなさい。
解答・解説：
平均 ＝ (12＋13＋14＋16＋20) ÷ 5 ＝ 15
分散 ＝ ｛(12－15)²＋(13－15)²＋(14－15)²＋(16－15)²＋(20－15)²｝ ÷ 5
＝ (9＋4＋1＋1＋25) ÷ 5 ＝ 8
標準偏差 ＝ √8 ≒ 2.83
▶︎平方和の式（Σx²－n×平均²）を使うと手早く計算できます。
【問題2】度数つきデータの平均と分散
値：98, 99, 100, 101, 102
度数：2, 4, 8, 4, 2
このデータを母集団として平均・分散・標準偏差を求めなさい。
解答・解説：
平均 ＝ (98×2＋99×4＋100×8＋101×4＋102×2) ÷ 20 ＝ 100
分散 ＝ ｛2×(98－100)²＋4×(99－100)²＋8×(100－100)²＋4×(101－100)²＋2×(102－100)²｝ ÷ 20
＝ (8＋4＋0＋4＋8) ÷ 20 ＝ 1.2
標準偏差 ＝ √1.2 ≒ 1.10
▶︎分散は「度数×偏差²」の合計を総度数で割る。
【問題3】母分散と標本分散の違い
データ：7, 7, 8, 12, 16
標本として扱うときと母集団として扱うときの分散を比較せよ。
解答・解説：
平均 ＝ 10
平方和 ＝ (7－10)²＋(7－10)²＋(8－10)²＋(12－10)²＋(16－10)²
＝ 9＋9＋4＋4＋36 ＝ 62
母集団分散 ＝ 62 ÷ 5 ＝ 12.4
標本分散 ＝ 62 ÷ (5－1) ＝ 15.5
標本分散は「n－1」で割る（不偏分散）。
▶︎これは母分散の過小評価を防ぐための補正。
【問題4】線形変換の効果
平均＝50、標準偏差＝4 のデータ X を
Y ＝ 1.2×X ＋ 3 に変換したとき、Yの平均と標準偏差を求めよ。
解答・解説：
平均（Y）＝ 1.2×50＋3＝63
標準偏差（Y）＝ 1.2×4＝4.8
▶︎「足し算」は平均だけ変える、「掛け算」は平均と分散両方を変える。
【問題5】2群の合成分散（母集団）
工程A：n＝30、平均100、標準偏差2.0
工程B：n＝20、平均104、標準偏差1.0
全体を母集団とみなして、全体平均と分散を求めなさい。
解答・解説：
全体平均 ＝ (30×100＋20×104) ÷ (30＋20) ＝ 101.6
全体分散 ＝ ｛30×(2²＋(100－101.6)²)＋20×(1²＋(104－101.6)²)｝ ÷ 50
＝ ｛30×(4＋2.56)＋20×(1＋5.76)｝ ÷ 50
＝ (196.8＋135.2) ÷ 50 ＝ 6.64
標準偏差 ＝ √6.64 ≒ 2.58
▶︎平均の差があると全体の分散は大きくなる。
（これは分散分析の基本原理）
【問題6】新しいデータを追加したときの更新計算
データ20個の平均＝50.0、分散＝4.00
新しいデータ56を加えたときの平均と分散を求めなさい。
解答・解説：
新平均 ＝ (20×50＋56) ÷ 21 ＝ 50.29
もとの「平均²＋分散」＝ 50²＋4＝2504
新しいE[X²]＝(20×2504＋56²) ÷ 21 ＝ 2534.1
分散 ＝ 2534.1－(50.29)²＝5.44
標準偏差 ＝ √5.44＝2.33
▶︎Excelで更新計算するときは「Welford法」が便利。
【問題7】標準化得点（Z値）
平均＝100、標準偏差＝2.5
データ95, 97, 103, 106 の z値を求め、異常値を判断せよ。
解答・解説：
z＝(x－平均)÷標準偏差
95 → (95－100)/2.5＝－2.0
97 → －1.2
103 → ＋1.2
106 → ＋2.4
｜z｜が2を超えるデータ（95,106）は異常とみなされる。
▶︎管理図や外れ値検出の基本。
【問題8】外れ値の影響
データ①：4, 5, 6, 7, 8
データ②：4, 5, 6, 7, 20
両者の平均・標準偏差を比較せよ。
解答・解説：
①平均＝6、標準偏差＝1.41
②平均＝8.4、標準偏差＝5.89
▶︎外れ値（20）によって平均も標準偏差も大きく変化する。
→ 平均と分散は外れ値に弱い（ロバスト性が低い）。
【問題9】階級データの近似
階級と度数：
49.5–49.9 → 5個
49.9–50.1 → 18個
50.1–50.3 → 12個
50.3–50.5 → 5個
（中央値：49.7, 50.0, 50.2, 50.4）
解答・解説：
平均＝(49.7×5＋50.0×18＋50.2×12＋50.4×5) ÷ 40＝50.07
分散＝｛5×(49.7－50.07)²＋18×(50.0－50.07)²＋12×(50.2－50.07)²＋5×(50.4－50.07)²｝ ÷ 40＝0.038
標準偏差＝√0.038＝0.20
▶︎度数分布の代表値は「中央値」で近似するのが基本。
【問題10】変動係数（CV）
工程A：平均50mm、標準偏差0.25mm
工程B：平均20mm、標準偏差0.15mm
どちらの相対的ばらつきが大きいか？
解答・解説：
CV＝標準偏差 ÷ 平均 ×100
工程A：0.25÷50×100＝0.50％
工程B：0.15÷20×100＝0.75％
→ 工程Bのほうが相対的にばらつきが大きい。
▶︎単位や平均値が違う工程の比較はCV（変動係数）を使う。
■まとめ
- 平均：Σx ÷ n
- 分散（母集団）：Σ(x－平均)² ÷ n
- 標本分散：Σ(x－平均)² ÷ (n－1)
- 標準偏差：√分散
- CV：標準偏差 ÷ 平均 ×100