📘 第10章：「確率密度と統計的推定（母分散・t分布）」計算演習10問

2025年10月6日

🔹出題形式：計算＋理論理解
🔹目的：母分散が未知の場合の平均の推定・t分布の理解
🔹時間目安：各問3分 × 10問（合計30分）

確率密度関数（PDF）とは何か？

解答例：

連続データの分布を表す関数で、ある値の近くにデータが存在する確率の“密度”を示すもの。
→ 面積で確率を表す。

確率密度関数の性質を2つ挙げよ。

解答例：

① f(x) ≥ 0（常に非負）
② 全範囲の面積 = 1

標本から母平均を推定する際、母分散が既知の場合はどの分布を用いるか？

解答例：

正規分布（Z分布）

母分散が未知の場合に用いる分布は？

解答例：

t分布（スチューデントのt分布）

t値の計算式を示せ。

解答例：

t = (x̄ − μ) / (s / √n)
（s：標本標準偏差）

n=10、x̄=52、μ=50、s=3 のとき、t値を求めよ。

解答例：

t = (52−50) / (3 / √10)
  = 2 / (0.9487)
  = 2.11

上の結果（t=2.11）で、有意水準5％、自由度9のとき
t₀.₀₂₅ = 2.262 とする。
このときの判断を述べよ。

解答例：

|t| = 2.11 < 2.262 → 棄却できない  
→ 有意な差はない（偶然の範囲内）

t分布の特徴を2つ挙げよ。

解答例：

① 正規分布に似た左右対称の形  
② nが大きくなるほど正規分布に近づく

標本平均 x̄ = 100、s=10、n=25 のとき、
母平均の95％信頼区間をt分布（t₀.₀₂₅=2.064）で求めよ。

解答例：

信頼区間 = x̄ ± t × (s / √n)
          = 100 ± 2.064 × (10 / 5)
          = 100 ± 4.128
→ [95.872 , 104.128]

t分布を用いる理由を説明せよ。

解答例：

母分散が未知の場合でも、標本の分散を使って推定できるようにするため。  
→ 小標本でも信頼区間や検定が可能。

📍ポイント