📉 第7問（レベルアップ）：回帰直線による予測と決定係数（R²）

■目標

ある工程で、回帰式が
y＝2.5＋1.2x
と求められている。x＝5のときのyを予測せよ。

解答・解説：
y＝2.5＋1.2×5＝2.5＋6＝8.5

▶︎回帰式は「xが1増えると、yがどれだけ増えるか」を示す。
ここではxが1上昇→yが1.2増加。

相関係数r＝0.9のとき、決定係数R²を求め、その意味を述べよ。

解答・解説：
R²＝r²＝0.9²＝0.81（81％）

→ yの変動のうち、81％がxの変化で説明できる。
残り19％はその他の要因や誤差。

▶︎R²は“どれだけ当てはまっているか”の指標（0～1）。

R²＝0.35のとき、どんなことが考えられるか？

解答・解説：
xとyの関係が弱い、または他の要因が強く影響している。
→ 単一の要因では説明しきれない。
1級では「多変量回帰」で複数要因を組み合わせる発想につながる。

回帰式：重量y（kg）＝5.0＋0.8×厚さx（mm）
(1) 厚さ0のときの重量
(2) 厚さが1mm増えると重量はどれだけ増えるか？

解答・解説：
(1) 厚さ0のとき y＝5.0（切片＝初期値）
(2) 1mm増で＋0.8kg（傾き＝増加率）

▶︎傾きの単位に注目。単位変換時にrは変わらないがbは変化する。

ある観測値で、
実測y＝12.3、回帰式からの予測値ŷ＝11.8。
残差eを求め、意味を説明せよ。

解答・解説：
e＝実測－予測＝12.3－11.8＝＋0.5

→ モデルは実際より0.5小さく予測している。
残差が正なら予測より実測が大きい。

▶︎残差の並びに偏りがあれば「非線形」や「変動不均一」を疑う。

平均回帰線に基づく「信頼区間」と、個別データの「予測区間」の違いを説明せよ。

解答・解説：
・信頼区間：母平均の範囲（誤差が小さい）
・予測区間：個々の観測値の範囲（誤差が大きい）
→ 予測区間＞信頼区間

▶︎1級では回帰式の推定誤差を「信頼区間」で評価する。

回帰式：y＝1.5＋0.4x（x：10～50の範囲で測定）
x＝100を代入して予測した結果がy＝41となった。
この予測の信頼性をどう考えるか？

解答・解説：
データ範囲外（外挿）での予測は信頼できない。
→ 関係が非線形に変化している可能性。
回帰は“観測範囲内”で使うのが原則。

回帰式のR²＝0.95なのに、実際の不良発生を予測すると大きく外れた。
なぜか？

解答・解説：
・過去データに過度に適合（過学習）している
・新しい環境や条件で関係式が変化
・外れ値が影響

▶︎R²が高くても「汎化性（予測の再現力）」は別問題。
→ 1級では**交差検証（Cross Validation）**などが登場。

平均0・標準偏差1に標準化したxとyの関係が、
y*＝0.85×x* で表された。
このとき、R²と解釈を述べよ。

解答・解説：
R²＝(0.85)²＝0.7225（72.3％）
→ yの変動の72％をxで説明できる。
標準化回帰の傾き＝相関係数r。
単位の異なる変数を比較するとき有効。

回帰式からの予測誤差のばらつき（残差の標準偏差）を「標準誤差SEE」という。
次の残差があるとき、SEEを求めよ。
e：＋0.3, －0.2, ＋0.1, －0.4, ＋0.2

解答・解説：
残差平均＝0
平方和＝0.3²＋0.2²＋0.1²＋0.4²＋0.2²＝0.3
SEE＝√(0.3÷(5－2))＝√0.1＝0.316

▶︎SEEが小さいほど予測精度が高い。
1級ではこれを使って信頼区間を計算する。