📈 第4問（レベルアップ）：相関係数・回帰分析（10問）

■目標

• 相関係数 r、決定係数 R²、回帰直線（切片 a・傾き b）を正しく計算・解釈できる
• 予測値・残差の意味を理解し、外れ値・単位変換・非線形など1級につながる視点を持つ

【問題1】r・回帰式（計算の基本）

データ（x, y）：
(1,3), (2,4), (3,6), (4,8), (5,9)

(1) 相関係数 r
(2) 回帰直線 y＝a＋b×x（a＝切片、b＝傾き）
を求めよ。

解答・解説：
n＝5
Σx＝15、Σy＝30、Σx²＝55、Σy²＝206、Σxy＝106
x̄＝Σx/n＝3、ȳ＝Σy/n＝6

傾き b ＝〔n×Σxy－(Σx)(Σy)〕 ÷ 〔n×Σx²－(Σx)²〕
＝(5×106－15×30) ÷ (5×55－225)
＝(530－450) ÷ (275－225)
＝80 ÷ 50 ＝ 1.6

切片 a ＝ ȳ－b×x̄ ＝ 6－1.6×3 ＝ 1.2

回帰式：y＝1.2＋1.6x

相関 r ＝〔n×Σxy－(Σx)(Σy)〕 ÷ √{〔n×Σx²－(Σx)²〕×〔n×Σy²－(Σy)²〕}
分子＝80
分母＝√(50×129.2)＝約80.623
r＝0.992（非常に強い正の相関）

【問題2】集計値から r を求める

あるデータで、
n＝6、Σx＝30、Σy＝42、Σx²＝170、Σy²＝308、Σxy＝224。
相関係数 r を求めよ。併せて回帰式も求めよ。

解答・解説：
x̄＝5、ȳ＝7

b ＝(6×224－30×42) ÷ (6×170－30²)
＝(1344－1260) ÷ (1020－900)
＝84 ÷ 120 ＝ 0.7
a ＝ 7－0.7×5 ＝ 3.5
→ 回帰式：y＝3.5＋0.7x

r ＝〔6×224－30×42〕 ÷ √{(6×170－900)×(6×308－42²)}
＝84 ÷ √(120×120) ＝ 0.837（強い正の相関）

（補足）R²＝r²＝約0.700 → 「yの分散の約70％をxが説明」

【問題3】予測値と残差

問題2で得た回帰式 y＝3.5＋0.7x を用いる。
x＝8 のとき、
(1) 予測値（ŷ）を求めよ
(2) 実測 y＝9.5 だった場合の残差 e＝y－ŷを求めよ

解答・解説：
(1) ŷ＝3.5＋0.7×8＝9.1
(2) e＝9.5－9.1＝0.4（予測より+0.4高い）

▶︎残差は「モデルがどれだけ外したか」。残差の系統的な偏りは**モデル不適合（非線形・変動不均一など）**のサイン。

【問題4】決定係数 R² の解釈

問題1の r＝0.992 に対して、決定係数 R² を求め、意味を説明せよ。

解答・解説：
R²＝r²＝(0.992)²＝0.985（約98.5％）
→ y の変動の約98.5％が x の直線関係で説明できる、という意味。
（※ 高いR²でも外れ値や外挿には注意）

【問題5】負の相関の計算と解釈

データ（x, y）：
(1,9), (2,7), (3,6), (4,4), (5,3)
相関係数 r を求め、関係を説明せよ。